Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus célèbres et les plus utiles des mathématiques. Enseigné au collège dès la 4e, il est indispensable pour réussir le brevet des collèges et constitue le socle de toute la géométrie euclidienne. Ce quiz Pythagore de 8 questions couvre à la fois la théorie, les calculs et les applications concrètes pour t'aider à consolider tes acquis.
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
$a^2 + b^2 = c^2$
où $c$ est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long) et $a$, $b$ sont les deux cathètes (les côtés de l'angle droit).
Si dans un triangle on a $a^2 + b^2 = c^2$, alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est en face du côté $c$. La réciproque est aussi importante que le théorème lui-même : elle permet de vérifier qu'un angle est droit à partir des seules longueurs des côtés.
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers naturels $(a, b, c)$ tels que $a^2 + b^2 = c^2$. Les plus courants au collège :
Reconnaître ces triplets de tête permet de résoudre immédiatement de nombreux exercices sans passer par le calcul.
Pythagore est omniprésent dans les problèmes de géométrie pratique : hauteur d'une échelle appuyée contre un mur, longueur d'une diagonale, distance entre deux points sur un plan. La méthode est toujours la même : identifier le triangle rectangle, repérer l'hypoténuse et les cathètes, appliquer la formule.
La formule de la distance entre deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ dans le plan est une application directe de Pythagore :
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Cela se démontre en construisant un triangle rectangle dont les côtés sont $(x_B - x_A)$ et $(y_B - y_A)$.
Pythagore est un mathématicien et philosophe grec né vers 580 av. J.-C. à Samos. Il fonda à Crotone (Grande-Grèce) une confrérie philosophique et mathématique dont les membres, les pythagoriciens, menaient une vie austère régie par des règles strictes. Le théorème qui porte son nom était en réalité connu des Babyloniens 1000 ans avant lui, mais c'est à Pythagore qu'on attribue la première démonstration rigoureuse.
Anecdote célèbre : selon la tradition, Pythagore aurait sacrifié 100 bœufs aux dieux pour célébrer sa découverte de la démonstration du théorème.
Le théorème de Pythagore est au programme de la 4e au collège. On l'applique ensuite tout au long du secondaire : calcul de distances en 3e, coordonnées en Seconde, trigonométrie en Première et Terminale. La réciproque est également enseignée en 4e.
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. C'est aussi le côté le plus long. Si on vous donne un triangle rectangle avec l'angle droit en C, alors l'hypoténuse est AB. Une erreur fréquente est de confondre l'hypoténuse avec l'un des côtés de l'angle droit.
Le théorème direct part d'un triangle dont on sait qu'il est rectangle pour calculer un côté inconnu : « Si le triangle est rectangle en C, alors $AC^2 + BC^2 = AB^2$ ». La réciproque part des longueurs pour conclure sur la nature du triangle : « Si $AC^2 + BC^2 = AB^2$, alors le triangle est rectangle en C ». Les deux sens sont au programme et peuvent être demandés au brevet.
Oui, plusieurs erreurs sont classiques : oublier de prendre la racine carrée à la fin ($c = \sqrt{a^2 + b^2}$, pas $c = a^2 + b^2$), confondre l'hypoténuse avec une cathète dans la formule, ou appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle. Toujours vérifier que le triangle est bien rectangle avant d'appliquer le théorème.