La trigonometrie est l'un des chapitres les plus importants — et les plus redoutes — des mathematiques au lycee. Sin, cos, tan, radians, cercle trigonometrique, formules d'addition... Ce quizz trigonometrie couvre l'ensemble du programme de Seconde et Terminale pour t'aider a identifier tes points faibles et consolider tes acquis avant le bac.
Tout part des trois rapports trigonometriques definis dans un triangle rectangle. L'angle droit en C, l'hypotenuse AB (le plus grand cote), et l'angle $\hat{A}$ dont on veut calculer les fonctions :
$\sin(\hat{A}) = \dfrac{\text{cote oppose}}{\text{hypotenuse}} \qquad \cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{cote adjacent}}{\text{hypotenuse}} \qquad \tan(\hat{A}) = \dfrac{\text{cote oppose}}{\text{cote adjacent}}$
Le moyen mnemonique SOH-CAH-TOA (Sinus = Oppose/Hypotenuse, Cosinus = Adjacent/Hypotenuse, Tangente = Oppose/Adjacent) est universellement utilise. Il faut y ajouter la relation $\tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$, qui permet de calculer la tangente a partir du sinus et du cosinus.
Le tableau des valeurs remarquables est incontournable au lycee. Pour les angles les plus courants :
| Angle | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | indefini |
Un moyen mnemonique pour les retenir : les valeurs du sinus suivent la suite $\dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2}$, soit $0,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1$. Les valeurs du cosinus lisent le tableau en sens inverse.
Au lycee, on travaille aussi bien en degres qu'en radians. La conversion de base est $\pi\ \text{rad} = 180°$. Pour convertir :
Angles a connaitre en radians : $\dfrac{\pi}{6} = 30°$, $\dfrac{\pi}{4} = 45°$, $\dfrac{\pi}{3} = 60°$, $\dfrac{\pi}{2} = 90°$, $\pi = 180°$, $2\pi = 360°$.
Le cercle trigonometrique est un cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Pour tout angle $\theta$, le point $M$ sur ce cercle a pour coordonnees $(\cos\theta,\ \sin\theta)$. L'identite fondamentale $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ exprime simplement que ce point est bien a distance $1$ de l'origine, conformement au theoreme de Pythagore.
Le cercle trigonometrique permet d'etendre les fonctions sinus et cosinus a tous les angles reels, et pas seulement aux angles aigus d'un triangle rectangle. On peut ainsi calculer $\sin(120°)$, $\cos(-30°)$ ou encore $\sin!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$.
Pour tout angle $\theta$ : $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$
Cette identite est fondamentale : elle permet de calculer $\cos\theta$ si on connait $\sin\theta$ (ou l'inverse). Par exemple, si $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$, alors $\cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, soit $\cos\theta = \pm\dfrac{4}{5}$ (le signe dependant du quadrant).
Les formules d'addition permettent de calculer sin ou cos d'une somme d'angles : $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
Elles sont notamment utilisees pour retrouver $\sin(75°) = \sin(45° + 30°)$ ou pour lineariser des expressions trigonometriques.
Les bases (definitions de sin, cos, tan dans le triangle rectangle et valeurs remarquables) sont introduites en Seconde. Le cercle trigonometrique, la conversion en radians et les formules d'addition sont au programme de Premiere et Terminale. La trigonometrie est presente dans les epreuves de bac, notamment les sujets de Terminale specialite Mathematiques.
Ce sont trois fonctions qui mesurent des rapports de cotes dans un triangle rectangle. $\sin(\theta)$ donne le rapport entre le cote oppose et l'hypotenuse, $\cos(\theta)$ entre le cote adjacent et l'hypotenuse, et $\tan(\theta)$ entre le cote oppose et le cote adjacent. Ils permettent de calculer des longueurs ou des angles inconnus dans un triangle.
La methode la plus efficace est la suite $\dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ pour les angles $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$. Le sinus lit cette suite dans l'ordre croissant, le cosinus la lit dans l'ordre decroissant. Avec ce tableau, les valeurs remarquables deviennent tres faciles a memoriser.
Les radians sont l'unite naturelle des angles en mathematiques et en physique. Ils permettent de simplifier les formules (derivee de $\sin$ en radians : $\cos$, sans coefficient supplementaire), de definir les fonctions trigonometriques sur les nombres reels et de travailler avec les arcs de cercle ($\text{longueur d'arc} = r \cdot \theta$ avec $\theta$ en radians). Au lycee, les radians sont obligatoires en Terminale.